Zákon velkých čísel naznačuje, že i ty zdánlivě náhodné procesy se řídí předvídatelnými výpočty. Tento zákon průměrů tvrdí, že čím více rozšíříte velikost vzorku, tím pravděpodobněji zjistíte, že se výsledky blíží původně plánovanému průměru. Zjistěte více o tomto příslušenství pravděpodobnosti a statistiky.
Co je zákon velkých čísel?
Zákon velkých čísel (LLN) je teoretické rozdělení pravděpodobnosti, které říká, že dosáhnete své očekávané hodnoty (nebo předpokládaného průměru), pokud stejnou zkoušku spustíte mnohokrát. Existuje jak slabý zákon velkých čísel, tak silný zákon velkých čísel. Slabý zákon velkých čísel představuje vzorec ukazující, že princip LLN vede k pravděpodobným výsledkům. Silný zákon velkých čísel představuje vzorec, který ukazuje, že vede k téměř jistým.
V některých případech – například Cauchyho distribuční funkce (funkce spojitého rozdělení) – rozsáhlé testování hypotéz dokazuje, že zákon někdy neplatí, ale je to velmi vzácný jev.
Stručná historie zákona velkých čísel
Francouzský teoretik Siméon Denis Poisson dal zákonu velkých čísel jméno, ale objevil jej až Jacob Bernoulli. Bernoulli byl švýcarský matematik sedmnáctého století a autor klíčového textu Ars Conjectandi . Před přijetím svého obecnějšího názvu bylo jméno pravděpodobnostního předpisu označeno jako „Bernoulliho věta“.
Ostatní matematici si zaslouží uznání za další příspěvky k tomuto zákonu. Ruští matematickí mágové Andrey Kolmogorov a Andrey Markov velmi rozšířili počáteční větu. Věta o nerovnosti Pafnutyho Čebyševa se připojuje k zákonu, aby poskytla ještě větší pocit jistoty pro předpovědi. Další související objevy v této oblasti – jako Bayesův teorém a centrální limitní teorém – pomohly vybudovat ještě silnější metodologii pro extrémně přesné předpovědi.
Jak používat zákon velkých čísel
Zvažte případ generátoru náhodných čísel a předpokládejte, že jej naprogramujete tak, aby pokaždé vydal náhodnou proměnnou od jedné do deseti. Vaše příslušná hodnota by byla všechna tato čísla sečtena a poté dělena deseti ((1+2+3+4+5+6+7+8+9+10) / 10 = 5,5). Pomocí této metriky určíte, že máte vysokou pravděpodobnost získání očekávané hodnoty 5,5 poté, co začnete spouštět a průměrovat pokusy z vašeho generátoru čísel.
Pokud svůj generátor spustíte pouze několikrát, pravděpodobně vytvoříte standardní odchylku od 5,5 (jinými slovy, pravděpodobně bude mnohem vyšší nebo nižší než očekávané číslo). Ale jak se pokusy zvyšují, je stále pravděpodobnější, že dosáhnete 5,5. očekávaná hodnota, pokud vaše proměnné zůstanou nezávislé a identicky rozdělené (iid).
4 Příklady zákona velkých čísel
Ve světě hazardu, financí a statistických analýz najdete příklady zákona velkých čísel v praxi. Zvažte tyto čtyři použitelné scénáře, abyste lépe porozuměli tomu, jak teorie pravděpodobnosti funguje v reálném světě.
1. Míra obchodního růstu : Pro mnoho vnějších pozorovatelů se fluktuace akciového trhu jeví jako skutečně náhodné události. Ve skutečnosti, jakmile vezmete v úvahu dostatek těchto výpočtů, stanou se snadněji předvídatelné s relativní četností. Dokonce i nejúspěšnější společnosti často vidí regresi směrem k průměru (tempo růstu, které vyletí vysoko, aby se časem vrátilo k průměrnému růstu). Velký průměr vzorku několika společností – jako je Dow Jones Industrial Average nebo S&P 500 – může třetím stranám pomoci předpovědět průměrnou výkonnost celých segmentů trhu.
2. Kasinové hry : Majitelé kasin spoléhají na parametry stanovené zákonem velkých čísel, aby zajistili, že „dům vždy vyhraje“, jak se říká. Ve skutečnosti, i když jednotliví hráči mohou občas vyhrát hodně, průměr vzorku vždy vede k mnohem normálnějšímu rozdělení, ve kterém kasino bere více peněz, než vyplácí. Hráči, kteří si jsou vědomi tohoto zákona a dalších statistických principů – jako je klam gamblera a Bayesovská inference (nebo Bayesovská analýza) – mohou někdy přelstít systém nebo se přesvědčit, aby odešli, zatímco jsou stále vepředu.
3. Hody mincí : S dostatečným počtem hodů mincí budete mít vždy šanci jedna ku dvěma správně zavolat hlavy nebo paty. Dokud osoba, která hází, používá poctivou minci, tato opakování se řídí zákonem velkých čísel tím, že vytváří stálý poměr hlav a ocasů. Mějte na paměti, že v krátkodobém horizontu to nemusí vypadat jako tento případ – a ve světě pravděpodobnosti může „krátkodobé“ přesáhnout sto nebo více hodů mincí.
4. Růst populace : Předpokládejme, že vládní sčítání lidu doufá, že promítne budoucí průměr populace v zemi. Na základě minulých analýz si uvědomují, že rodiny mají v průměru dvě děti v celé jejich zemi. Po náhodném výběru tří rodin sčítání zjistí, že jedna má čtyři děti, jedna má jedno dítě a poslední má devět. I když se to může zdát jako důkaz, že původní předpověď byla falešná, jak se počet pokusů zvyšuje, bude zřejmé, že čím více rodin bude sčítací komisař zkoumat, tím pravděpodobnější bude celkový průměr dvou dětí.